درسنامه آموزشی فصل دوم ریاضی (3) کلاس دوازدهم علوم تجربی

نسبت‌های مثلثاتی زوایای دو برابر کمان

در محاسبات فنی گاهی نسبت مثلثاتی برخی زوایا مورد نیاز است که مقدار آن را می‌توان به کمک دیگر زوایا به‌دست آورد. اگر مقدار $\cos {15^\circ }$ را نیاز داشته باشیم چگونه می‌توان آن را با استفاده از مقدار $\cos {30^\circ }$ به‌دست آورد؟ به وضوح ${15^\circ }$ نصف ${30^\circ }$ است و نیز می‌دانیم $\cos {30^\circ } = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$. آیا با نصف کردن مقدار $\cos {30^\circ }$ می‌توان $\cos {15^\circ }$ را به‌دست آورد؟ در ادامه خواهیم دید که جواب منفی است ولی همچنان می‌شود مقدار $\cos {15^\circ }$ را به کمک مقدار معلوم $\cos {30^\circ }$ یافت اما نه با نصف کردن.

مثال: مقدار $\cos {15^\circ }$ و $\sin {15^\circ }$ را بیابید.

$\cos {30^\circ } = 1 - 2{\sin ^2}{15^\circ }$

$\sin {30^\circ } = 2\sin {15^\circ }\cos {15^\circ }$

$\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 1 - 2{\sin ^2}{15^\circ }$

$\frac{1}{2} = 2 \times \frac{{\sqrt {2 - \sqrt 3 } }}{2}\cos {15^\circ }$

${\sin ^2}{15^\circ } = \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{2} - 1}}{{ - 2}} = \frac{{2 - \sqrt 3 }}{4}$

$\frac{1}{2} = \sqrt {2 - \sqrt 3 } \cos {15^\circ }$

(${15^\circ }$ در ربع اول است.) $\sin {15^\circ } = \frac{{\sqrt {2 - \sqrt 3 } }}{2}$

(${15^\circ }$ در ربع اول است.) $\cos {15^\circ } = \frac{{\sqrt {2 - \sqrt 3 } }}{2}$

معادلات مثلثاتی

معادله‌ای که در آن اطلاعاتی از نسبت‌های مثلثاتی یک زاویهٔ مجهول داریم، یک معادلهٔ مثلثاتی نام دارد.

مثال: تابع مثلثاتی $y = \sin x$ را که نمودار آن در زیر رسم شده است در نظر بگیرید.

همان‌طور که از نمودار پیداست، صفرهای این تابع جواب‌های معادله مثلثاتی $\sin x = 0$ می‌باشد. به عبارت دیگر جواب‌های این معادله که به‌صورت $x = ..., - 3\pi , - 2\pi , - \pi ,0,\pi ,2\pi ,3\pi ,...$ می‌باشند، محل تقاطع تابع ثابت $y = 0$ (یعنی محور $x$ها) و تابع $y = \sin x$ است. این جواب‌ها را می‌توان به‌صورت کلی $x = k\pi $ که $k$ یک عدد صحیح است نمایش داد.

به طور مشابه جواب‌های معادله $\sin x = 1$ مقادیری از $x$ هستند که به ازای آنها مقدار $\sin x$ برابر 1 می‌شود. این مقادیر محل تقاطع $y = 1$ و $y = \sin x$ است که در نمودار زیر رسم شده‌اند.

جواب‌های معادله بالا به‌صورت

$x = ...,\frac{\pi }{2} - 4\pi ,\frac{\pi }{2} - 2\pi ,\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} + 2\pi ,...$

می‌باشند که به صورت کلی $x = \frac{\pi }{2} + 2k\pi ,k \in \mathbb{Z}$ قابل نمایش است.

اکنون معادله $\sin x = \frac{1}{2}$ را در نظر می‌گیریم. فعالیت زیر به شما کمک می‌کند تا جواب‌های این معادله را بیابید.

برای عدد حقیقی $ - 1 \leqslant a \leqslant 1$ که $\sin x = a$، زاویه‌ای مانند $\alpha $ وجود دارد که برای آن داریم $\sin \alpha  = a$. بنابراین معادله $\sin x = a$ به‌صورت $\sin x = \sin \alpha $ بازنویسی می‌شود. اکنون برای یافتن جواب‌های معادله $\sin x = \sin \alpha $ باید رابطه بین کمان‌های $x$ و $\alpha $ را بیابیم.

با توجه به دایره مثلثاتی زیر رابطه بین کمان معلوم $\alpha $ و کمان‌های مجهول $x$ به‌طوری که $\sin x = \sin \alpha $ در دوران‌های مختلف به‌صورت زیر است:

$x = (2k + 1)\pi  - \alpha \,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,k \in \mathbb{Z}$  و  $\sin x = \sin \alpha  \Rightarrow x = 2k\pi  + \alpha $

مثال: معادلهٔ $\sin x =  - \frac{1}{2}$ را حل کنید.

$\sin x =  - \frac{1}{2}$

$\sin x = \sin ( - \frac{\pi }{6})$

$\left\{ \begin{gathered}
  x = 2k\pi  - \frac{\pi }{6}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,k \in \mathbb{Z} \hfill \\
  x = 2k\pi  + \frac{{7\pi }}{6}\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,k \in \mathbb{Z} \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.$

بنابراین برای حل معادله فوق کافی است ابتدا آن را به‌صورت $\cos x = \cos \alpha $ نوشته و سپس رابطه بین زوایای $x$ و $\alpha $ را با توجه به دایره مثلثاتی زیر به‌صورت زیر به‌دست آوریم.

$x = 2k\pi  - \alpha \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,k \in \mathbb{Z}$ و $\cos x = \cos \alpha  \Rightarrow x = 2k\pi  + \alpha $

مثال: جواب‌های معادله $\cos x = \frac{1}{2}$ را به‌دست آورید. کدام جواب‌ها در بازه $\left[ { - 3\pi ,\pi } \right]$ می‌باشند؟

می‌دانیم $\cos \frac{\pi }{3} = \frac{1}{2}$ پس معادله به‌صورت $\cos x = \cos \frac{\pi }{3}$ می‌باشد. بنابراین جواب‌های کلی معادله به‌صورت زیر هستند:

$x = 2k\pi  \pm \frac{\pi }{3}\,\,,\,\,k \in \mathbb{Z}$

اکنون با جایگذاری مقادیر صحیح به جای $k$ در عبارت فوق نتیجه می‌شود که جواب‌های $x =  - 2\pi  - \frac{\pi }{3}, - 2\pi  + \frac{\pi }{3}, - \frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3}$ از معادله فوق در بازه داده شده می‌باشند.

مثال: معادله $\sin 2x = \sin 3x$ را حل کنید.

می‌دانیم که جواب‌های این معادله به شکل زیر هستند:

$\left\{ \begin{gathered}
  2x = 2k\pi  + 3x \Rightarrow x = 2k\pi \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,k \in \mathbb{Z} \hfill \\
  2x = (2k + 1)\pi  - 3x \Rightarrow x = \frac{{(2k + 1)\pi }}{5}\,\,\,\,\,\,\,,\,\,k \in \mathbb{Z} \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.$

مثال: معادله $2\sin 3x - \sqrt 2  = 0$ را حل کنید.

$2\sin 3x - \sqrt 2  = 0$

$2\sin 3x - \sqrt 2 $

$\sin 3x = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \sin 3x = \sin \frac{\pi }{4} \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
  3x = 2k\pi  + \frac{\pi }{4} \Rightarrow x = \frac{{2k\pi }}{3} + \frac{\pi }{{12}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,k \in \mathbb{Z} \hfill \\
  3x = (2k + 1)\pi  - \frac{\pi }{4} \Rightarrow x = \frac{{(2k + 1)}}{3}\pi  - \frac{\pi }{{12}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,k \in \mathbb{Z} \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.$

مثال: یک بازیکن هندبال توپ را با سرعت $16m/s$ برای هم تیمی خود که در 12/8 متری او قرار دارد پرتاب می‌کند. اگر رابطه بین سرعت توپ $v$ (برحسب متر بر ثانیه)، مسافت طی شده افقی $d$ (برحسب متر) $\theta $ به‌صورت زیر باشد، آنگاه زاویه پرتاب توپ چقدر بوده است؟

$d = \frac{{{v^2}\sin 2\theta }}{{10}}$

از رابطه داده شده به‌دست می‌آید:

$12/8 = \frac{{{{(16)}^2}\sin 2\theta }}{{10}} \Rightarrow \sin 2\theta  = \frac{{12/8 \times 10}}{{256}} \Rightarrow $

$\sin 2\theta  = \frac{1}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
  2\theta  = 2k\pi  + \frac{\pi }{6}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,k \in \mathbb{Z} \hfill \\
  2\theta  = (2k + 1)\pi  - \frac{\pi }{6}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,k \in \mathbb{Z} \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.$

با توجه به شکل، جواب قابل قبول $\theta  = \frac{\pi }{{12}}$ و $\theta  = \frac{{5\pi }}{{12}}$ می‌باشد.

مثال: جواب‌های معادله $\sin x\cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{4}$ را به‌دست آورید.

$2\sin x\cos x = 2\frac{{\sqrt 3 }}{4} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$

$\sin 2x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$

$\sin 2x = \sin \frac{\pi }{3} \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
  2x = 2k\pi  + \frac{\pi }{3} \Rightarrow x = k\pi  + \frac{\pi }{6}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,k \in \mathbb{Z} \hfill \\
  2x = (2k + 1)\pi  - \frac{\pi }{3} \Rightarrow x = \frac{{(2k + 1)\pi }}{2} - \frac{\pi }{6}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,k \in \mathbb{Z} \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.$

مثال: معادله $\cos x(2\cos x - 9) = 5$ را حل کنید.

ابتدا این معادله را به‌صورت $2{\cos ^2}x - 9\cos x - 5 = 0$ می‌نویسیم. با تغییر متغیر $\cos x = t$ می‌توان معادله فوق را به معادله درجه دوم $2{t^2} - 9t - 5 = 0$ تبدیل کرد. جواب‌های این معادله $t =  - \frac{1}{2}$ و $t = 5$ است. بنابراین جواب‌های معادله مثلثاتی بالا از حل دو معادله ساده $\cos x = 5$ و $\cos x =  - \frac{1}{2}$ به‌دست می‌آیند. از آنجا که $\cos x = 5$ جواب ندارد (چرا؟) فقط جواب‌های معادله $\cos x =  - \frac{1}{2}$ را به‌دست می‌آوریم.

$\cos x =  - \frac{1}{2} \Rightarrow \cos x = \cos \frac{{2\pi }}{3} \Rightarrow x = 2k\pi  \pm \frac{{2\pi }}{3}\,\,,\,\,k = \mathbb{Z}$